2차원 이상의 운동

착륙하는 제트 여객기는 3차원에서의 운동과 관련된다.
'궤도 위성의 속력은 얼마일까? 멀리뛰기 시합에서 최고의 기록을 내려면

어떻게 뛰어야 할까? 해상의 잠수함에서 발사된 핵미사일을 방어하려면

경보를 얼마나 미리 해야 할까? 공을 지붕 너머로 던지려면 어떻게 던져야 할까?
커브 길의 안전한 운전을 위하여 이 커브 길을 어떻게 공사해야 할까?

3장에서 변위, 속도 및 가속도 벡터 등을 학습하였으므로 2차원 및 3차원

운동에 관한 위의 물음들과 그 밖의 여러 다른 물음들에 답할 수 있다.

 

속도와 가속도
직선상의 운동은 가속도에 관련되기도 하고 관련되지 않을 수 있다. 하지만
2차원 또는 그 이상의 차원 운동은 가속운동이어야 한다. 그 이유는? 2차원의
운동은 방향의 변화를 요구하기 때문인데-그것은 적어도 속도 벡터의 방향이
변화하여야 한다는 것을 의미한다. 어떠한 속도의 변화 속도의 크기나 방향,
또는 둘 다-도 가속도와 연관된다는 것을 다시 강조해 둔다.
1차원의 속도와 가속도의 값은 전혀 관련이 없다는 것을 2장에서 역설하였다.
가속도는 속도가 아니라 속도의 변화에 의존한다. 2차원에서도 동일하며 이 경
우 속도와 가속도는 모두 벡터이다. 이것은 가속도 벡터가 크기뿐만 아니라 속
도 벡터에 대하여 어떤 방향도 취할 수 있다는 것을 뜻한다. 수학적으로, 속도
와 가속도 사이의 관계는 동일하며 식 3-8 및 식 3-9로 완전히 기술된다.
가속도의 크기와 방향이 모두 일정하다면 평균 가속도와 순간 가속도는
다. 가속도와 속도 사이의 관계를 좀 더 이해하려면, 몇 가지 특별한 경우를

고찰하는 것이 도움이 된다.

 

등가속도
가속도가 일정할-크기나 모두 방향이 변하지 않는-때 가속도 벡터의 개1의 

성분들 자체가 일정하다. 실험적으로 가속도의 한 방향의 성분은 그 방향이
수직인 방향의 운동에 아무런 영향을 미치지 않는다는 것이 알려져 있다

(그림4-4 참조).

그래서 등가속도 운동에서 분리된 성분들은 2장에서 1차원 운동에 대하여 

설명한 등가속도 공식들을 따라야 한다.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

그림 4-4 두 개의 구슬 중 하나는
떨어뜨리고 다른 하나는 동시에 수
평으로 던져서 이들의 운동을

스트로보 카메라로 촬영한다.

순간마다. 이 구슬들의 연직 

위치는 동일하며 연직 운동과 

수평 운동은 독립적이라는 것을 

나타낸다. 영상들 사이의 시간 

간격은 0.025 s이다.

 

 

포물체의 운동
공중에 던져진 다음, 주로 중력의 영향을 받아 운동하는 물체가 포물체(poctile)이다.

야구공, 분수, 불꽃, 미사일, 화산부터의 분출물, 잉크젯 프린터 내에서 떨어지는 잉크,

뛰어오르는 돌고래 등은 모두 포물체의 예들이다.
포물체 운동은 다루기 위하여 (1) 중력 가속도의 방향과 크기의 어떠한 변화도
무시하고 (2) 공기 저항을 무시하는 두 가지 단순화 가정을 한다. 가정 1은 지구

표면의 곡률을 무시하는 것과 동등하며, 변위가 지구의 반지름과 비교해서 작은

포물체의 경우 타당하다. 공기 저항은 보다 다양한 효과가 있다; 속이 곽 차서
밀도가 큰 물체에 대해서는 대체로 무시할 수 있지만 질량에 대한 표면적의 비
가 큰 물체-탁구공이나 낙하산 같은-은 공기 저항으로 운동이 현저히 달라질
것이다. 그리고 야구공의 절묘한 운동-그 곡선 경로의 흔들림-은 공기저항의
도움으로 설명이 가능하다. 앞으로 달리 언급이 없으면 공기저항은 무시한다.
포사체 운동을 기술하기 위하여 *축은 포물체의 처음 속도의 수평 성분의 방
향에, 축을 연직 상 방향인 좌표계를 선정하는 것이 보통 편리하다. 그러면
축 방향으로는 속도나 가속도의 성분이 없이 단순히 r-y 평면상의 2차원 운동
이 된다(그림 4-8). 더욱이, 중력에 의한 가속도는 ax = 0 및 AY = -g이므로
식 4-3 및 식 4-4의 성분은

 

이 된다. 이 식들을 표시하는데 2장에서처럼 g를 양의 수로 취하며, 음의 부호로 

아래 방향을 표현하였다. 식 4-5에서부터 식 4-8까지의 식들은 그림 4-8이
물리적으로 무엇을 나타내는가를 수학적으로 실명한다. 즉, 이 포물체 운동은
서로 수직화하며 독립적인 두 성분인, 일정 속도의 수평운동과 일정 가속도의 연
직 운동으로 분해될 수 있다.

식 4-5에서부터 식 4-8까지 새로운 것은 아무것도 없다. 이 식들은 단지 등가
속도의 식인 식 4-3, 식 4-4를 가속도가 지구 표면 근처에서의 중력 가속도인
경우의 운동을 성분들로 표시한 것뿐이다. 여기서 제시한 이 식들로부터 식 4-3,

식 4-4로 되돌아갈 수 있으며, 필요에 따라 어떤 다른 등가속도의 운동도
상세히 기술할 수 있을 것이다. 더욱이 자축을 수평으로 y축을 연직 상 방향으로
선정한 데에는 특별한 이유가 없으며 좌표계의 선택은 선택하기 나름이라는 점
을 상기시키기 위하여 x, y 축을 다르게 택하는 예를 가끔 들겠다.

 

포물체의 사정거리

12m/s로 수평에 대하여 50˚로 차올린 축구공은 얼마나 멀리 갈까? 15m/s로
돌을 던진다면, 이 돌이 30m 폭의 연못을 넘길 수 있을까? 가장 멀리 던지려면
어떤 각으로 던져야 할까? 로켓이 발사 지점의 50 km 내에 도달하도록 하려면
로켓의 궤적은 연직으로 얼마나 높아질 수 있을까? 이 예들에서 포물체의 수평
사정(horizontal range) -즉, 평지 위를 수평으로 이동하는 거리- 과 종종 관련된다.

 

공기 저항의 효과
포물체 운동을 다루는데 공기저항을 무시하였다. 그러나 공기 저항은 중요한
효과를 낼 수 있으며 특히 고속에서나 표면적이 크고 질량이 작은 물체의 경우
중요하다. 체공 시간이 길수록 이 효과는 더 클 것이며 따라서 이것은 보다 작은
반사각의 경우 효과가 보다 작다는 것을 의미한다; 결과적으로 최대 사정에 대
한 발사각은 45˚보다 작다는 것을 알 수 있다. 공기 저항이 있는 경우의 경로의 

계산은 용이하지 않다; 일반적으로 컴퓨터 계산이 필요하다. 그림 4-16은
공기 저항이 있는 경우와 없는 경우의 야구공의 경로를 비교한 것이다.