운동의 벡터 표현

하나의 곧은 길로만 가거나 똑바로 연직으로 날아 올라가는 운동은 드물다.

2 장에서 직선상에서의 운동을 묘사하는 데 사용한 음수와 양수만으로는

축구장의 선수나, 당구대 위의 당구공 운동을 제대로 표시할 수 없다. 축구선수나
당구공의 2차원 운동을 기술하기 위해서는 또 하나의 차원이 필요하다.

산을 오르거나, 도시에서 도시로 비행하거나. 공을 야구장에서 던지는 것

같은 운동은 연직 차원도 필요하여 3차원 운동이 된다. 이 장에서는 운동을 완전히
기술하기 위한 수학을 밟혀나갈 것이다.

 

벡터와 스칼라
일차원 이상의 운동에는 여러 경우가 일어날 수 있다. : 동서남북이나 그사이의
어느 방향으로도 갈 수 있다. 한 원의 곡선을 따라 달릴 수도 있다. 공을 어떤
각으로도 던질 수 있다. 개구리가 뛰거나, 벌새가 날거나, 낚시를 던지는 경우
생각해 보라. 이런 운동은 "얼마나 멀리?", "얼마나 빨리?" 뿐만 아니라 "어떤
방향으로?"라는 질문이 나오도록 한다.
2장에서 직선 위에서의 위치를 원점에서부터 거리를 나타내는 숫자로 표시하였다. 

1 차원에서 가능한 두 방향 중 어느 것인가를 가리키는데 양과 음의 부호를

사용하였다. 2 차원이나 3차원에서도 원점에서부터의 거리는 정할 수 있지만
여기서는 많은 가능한 방향들을 고려해야 한다. 위치를 정확히 나타내려면 크기
와 방향이 있어야 하는데 이러한 물리량을 벡터(vector)라고 한다. 벡터는 화살
표로 표시한다 : 화살표의 길이는 벡터양의 크기(magnitude)를 표시하며 화살
표의 방향이 벡터의 방향을 표시한다. 2 차원이나 3차원에서 위치는 분명히 백
터이며 정해진 원점에서부터의 거리와 방향으로 나타내어진다. 물리학에서 

다루는 속도, 가속도, 그리고 이 외의 여러 물리량도 벡터이다. 2 차원에서 

벡터를 완전히 지정하려면 두 개의 수들이 필요하며 3차원에서는 벡터를

표시하는데 세 개의 수들이 필요하다.
반면에, 스칼라(scalar)는 시간, 질량, 온도와 같이 하나의 숫자로 나타낼 수 있는 

양이다. 이 책에서 벡터는 굵은 체를, 스칼라는 이탤릭체를 사용하여 구별한다.
벡터를 손으로 쓸 패는 벡터양에 대한 기호 위에 화살표를 그리는 것이 일반적이
다. 물리 문제를 다룰 때는 늘 벡터와 스칼라를 구별하는 것이 중요하다.

 

벡터 계산
벡터끼리 더한 빼고 곱할 수 있다. 이런 연산들은 이미 익숙한 스칼라의 더하기,

빼기, 곱하기 개념의 연장이다. 여기서 벡터 계산을 그림을 설명하여 이해를

도울 것이다. 나중에 벡터 계산을 해석적인 방법을 처리하는 것을 설명한
다. 벡터 산수를 익히면 복잡한 운동이나 다른 물리 현상을 이해하는 데 도움이
될 것이다.
가장 알기 쉬운 벡터양은 위치(position)이다. 이웃 도시는 어디에 있나?
북서쪽 45km 떨어져 있다. 이렇게 표시된 거리와 방향은 한 도시를 기준으로 

그 이웃 도시의 위치 벡터를 나타내는 것이다. 언제나 어떤 원점에 대한
위치를 지정하는 것이다. 원점의 선택은 정하기 나름이며 완전히 임의이다. 원
점에서부터 목표물의 위치는 화살표로 표시되는데, 이 위치 벡터의 기호는 r로
표시한다. 그림 3-1은 0으로 표시한 원점에서부터 2m 떨어진 곳에 있는 바위
의 위치를 벡터 r1으로 나타낸다.

 

벡터와 스칼라의 곱
당신과 내가 북동쪽으로 달리기 시작했는데 당신이 나보다 두 배 멀리 갔다면
변위는 모두 북동쪽을 가리키는 벡터로 나타내어지는데 당신의 변위 벡터-B라
고 하자 -의 길이는 나의 변위 벡터 A의 길이의 2배이다. 수학적으로는 B =
2A이다. 벡터에 스칼라를 곱하면 벡터의 크기만 바뀐다. 스칼라가 양이면 곱한 

벡터의 방향은 변하지 않으며 스칼라가 음이면 방향은 반대가 된다. 그림
3-5는 한 벡터에 여러 스칼라를 곱한 결과를 나타낸다.
그림 3-5에서 -A는 A와 같은 크기이나 방향이 반대임을 주목하여라. 이건
합리적이다: 보통의 산수에서처럼 -A는 A 덧셈의 역이다. 즉, 합하면 0이
되는 벡터이다. 변위 벡터를 생각해 보자: 북동쪽으로 10 m 가고(이 벡터를 A라
고 하자) 다음에 남서쪽으로 10m 가면(벡터  -A) 처음 출발한 장소로 돌아온
다. 그러면 알짜 변위는 영이므로 A + ( - A) = 0이라고 나타낸다.
그림 3-6에서와 같이, 벡터와 스칼라와의 곱셈은 잘 알고 있는 분배법칙
(distributive property)를 따른다. 즉, c(A  + B) = c A + c B이다. 벡터끼리

곱하는 것이 가능할까? 사실 벡터 곱셈에는 몇 가지 종류가 있다. 나중 장에서 필
요에 따라 이 곱셈들을 설명할 것이다.

 

좌표계, 벡터의 성분 및 단위 벡터
이 책에서는 여러 벡터, 때로는 무한히 많은 벡터의 합을 구한다. 앞의 절
에서 사용된 기하학적 방법은 벡터 연산이 뜻하는바 이해하기 쉽게 하지만,

해석 기하학의 기교로 이용하는 벡터 계산이 보다 편리하다.
좌표계(coordinate system)란 공간에서의 위치로 정량적으로 표시하기 위한 틀이다.

지구 표면상 점들의 위치로 가리키는 위도와 경도는 잘 알고 있는 2차원의 예이다. 

주어진 위치로 표시하는 한 쌍의 숫자 좌표(coordinate)라고 한다(그림 3-8).

좌표를 사용하지 않으면 태평양에 있는 보트나 섬의 위치를 표시하는 것이 얼마나 어려울지 

생각해 보라! 높이 좌표를 첨가하면 삼차원의 위치 자료를 얻게 된다.

평면상의 점들이 서로 수직인 두 축으로부터의 거리인 한 쌍의 숫자 (x, y)로
나타내어지는 Descartes 또는 직각 좌표계(rctangular coordinate)를 잘 알고

있을 것이다(그림 3-9). 또한 이 점들을 원점에 대한 각 점의 위치를 나타내는 

벡터의 머리를 명시한다고 생각할 수 있다. 그러면 좌표 x와 y 가 각 벡터를 

완전히 표시한다. 이런 뜻에서, 좌표는 벡터의 성분(components)이라고 불린다. 

비록 그래프상의 집들은 실제의 위치들을 나타내지만, 이 점들은 속도나 힘 혹은 

다른 벡터양의 머리일 수 있다. 임의의 벡터 A를 생각해 보자.
A라는 기호-벡터를 나타내는 기호와 같은 문자이나 굵은 체가 아닌 이탤릭체이다-

를 벡터의 크기를 나타내는 데 사용하고 벡터의 x와 y 성분을 Ax와 AY 을
나타낸다. 위치 벡터 r의 경우에는 Rx와 Ry 가 각각 x, y 성분이다.
앞서서 한 벡터를 그 크기와 방향으로 표시했다: 이제는 그 성분으로도 표시
할 수 있다. 그러면 한 벡터를 나타내는 이 방법들에 어떤 관계가 있을까? 그림
3-10이 이 관계들을 나타낸다. Pythagoras의 정리와 tangent의 정의를 사용하여
크기 A와 방향 시타를 벡터의 성분과 연계시킨다: