등속 원운동

2차원에서 가속운동 중에서 중요한 경우는 등속 원운동(uniform circular motion)-

일정한 속력으로 원형 경로상에서의 운동-이다(그림 4-17),
속력이 일정할지라도 속도의 방향이 변하므로 가속 운동이다.
등속 원운동의 보기는 대단히 많다. 많은 우주선이 이 원운동을 하며, 행성들
이나 그 해성 주의의 위성들의 궤도도 대체로 원이다. 지구는 자전하니까 지면
상의 사람들은 등속 원운동을 한다. 기제 장치의 회전부는 등속 원운동을

나타낸다. 실험실 내의 장치, 천체 물리학의 대상, 자기장과 만난 전자들은 등속

원운동을 한다. 원자 자체도 핵 주의를 등속 원운동 하는 전자들을 묘사함으로 원
자에 대한 이해가 어느 정도 가능하다-그렇지만 이 관점은 현대의 양자역학과
전적으로 일치하지 않는다. 제한된 경로상에서의 등속 원운동과 관련되는

또 다른 경우가 있다. 커브를 따라 등속으로 차를 운전할 때 잠시 등속 원운동을 한
다. 야구 방망이나 하키 스틱을 휘두를 때 원운동을 일으키며 등속일 것이다.
여기서 등속 원운동의 가속도, 속력 및 반지름 사이의 중요한 관계를 유도해
본다. 그림 4-18은 속력 u로 반지름 r인 원을 도는 물체의 몇 개 속도 벡터를
나타낸다. 속도 벡터는 원에 접하며 운동의 순간 방향을 나타낸다는 사실에

유의하여라. 그림 4-19에서 가까운 두 점의 위치 벡터를 r₁ 및 r₂으로 그리고

속도 벡터를 v₁ 및 v₂로 표시한다. 그립 4-19b는 r₁ 과 r₂의 차인 변위 4r를

나타낸다. 똑같이 그림 4-19c는 속도의 차 Δ v를 나타낸다.
v₁는 r₂에 수직이고 v₁는 r₂에 수직이기 때문에 그림 4-19 a, b 및 c의 각 θ
는 모두 같은 크기의 각이다, 따라서 그림 4-19b의 삼각형들은 닮은꼴이다.

 

2차원에서 가속운동 중에서 중요한 경우는 등속 원운동(uniform circular motion)-

일정한 속력으로 원형 경로상에서의 운동-이다(그림 4-17),
속력이 일정할지라도 속도의 방향이 변하므로 가속 운동이다.
등속 원운동의 보기는 대단히 많다. 많은 우주선이 이 원운동을 하며, 행성들
이나 그 해성 주의의 위성들의 궤도도 대체로 원이다. 지구는 자전하니까 지면
상의 사람들은 등속 원운동을 한다. 기제 장치의 회전부는 등속 원운동을

나타낸다. 실험실 내의 장치, 천체 물리학의 대상, 자기장과 만난 전자들은 등속

원운동을 한다. 원자 자체도 핵 주의를 등속 원운동 하는 전자들을 묘사함으로 원
자에 대한 이해가 어느 정도 가능하다-그렇지만 이 관점은 현대의 양자역학과
전적으로 일치하지 않는다. 제한된 경로상에서의 등속 원운동과 관련되는

또 다른 경우가 있다. 커브를 따라 등속으로 차를 운전할 때 잠시 등속 원운동을 한
다. 야구 방망이나 하키 스틱을 휘두를 때 원운동을 일으키며 등속일 것이다.
여기서 등속 원운동의 가속도, 속력 및 반지름 사이의 중요한 관계를 유도해
본다. 그림 4-18은 속력 u로 반지름 r인 원을 도는 물체의 몇 개 속도 벡터를
나타낸다. 속도 벡터는 원에 접하며 운동의 순간 방향을 나타낸다는 사실에

유의하여라. 그림 4-19에서 가까운 두 점의 위치 벡터를 r₁ 및 r₂으로 그리고

속도 벡터를 v₁ 및 v₂로 표시한다. 그립 4-19b는 r₁ 과 r₂의 차인 변위 4r를

나타낸다. 똑같이 그림 4-19c는 속도의 차 Δ v를 나타낸다.
v₁는 r₂에 수직이고 v₁는 r₂에 수직이기 때문에 그림 4-19 a, b 및 c의 각 θ
는 모두 같은 크기의 각이다, 따라서 그림 4-19b의 삼각형들은 닮은꼴이다.

 

r₁에서부터 r₂까지의 이동에 대한 짧은 시간 구간 Δ t에 대응하는 각 θ가 

작다고 하자. 그러면 그림 4-19b에 나타낸 바와 같이 벡터 Δ r의 길이는,

위치 벡터의 끝점을 잇는 원호의 길이와 대략 같다. 이 호의 길이는 바로 Δ t
동안 물체가 이동한 거리 u Δ t이며, 따라서 Δ r=u Δ t이다. 그러면 닮은 삼각형
사이의 관계식은

 

이 된다. 이식을 다시 정돈하면 평균 가속도의 크기에 대한 근사 표현이 된다.

 

Δ t →0의 극한을 취하면 순간 가속도가 된다 이 극한에서 θ는 0에 접근하며

원호와 벡터 Δ r은 구별할 수 없게 되며 Δ r =u Δ t는 정확한 관계식이 된다.

그러므로 속력 u로 반지름 r의 원운동을 하는 물체의 순간가속도의 크기이다.

방향은 어떨까? 그림 4-19c에서처럼 Δ v는 두 속도 벡터에 거의 수직이며

Δ t→0의 극한에서 Δ v와 Δ v / Δ t는 그림 4-19a가 나타낸 것처럼 속도에 

엄밀하게 수직이 된다. 따라서 가속도 벡터의 방향은 원의 중심을 향한다.
명백히, 이 기하학적 논의는 원상의 어느 점에서 적용될 것이므로 등속

원운동에서의 가속도의 크기는 일정한 u²/r이며 가속도 벡터는 항상 원의

중심을 향한다고 결론짓는다. Issac Newton은 중심을 향하는 이 가속도를

기술하기 위하여 구심(centipetal)이라는 용어를 만들었다. 그러나, 구심

가속도란 다른 어때한 가속도와도 본질적으로 다르지 않다는 것을 강조하기

위하여 이 용어를 별로 사용하지 않을 것이다; 그것은 단지 속도의 변화율을

기술하는 벡터이다. 식 4-11은 합당한가? 그렇다. 속력 u의 증가는 속도의

정해진 방향 변화에 걸리는 시간 Δ t가 더 짧아진다는 것을 의미한다. 그뿐만

아니라 관련되는 속도 변화 더 크다. 이 두 효과가 결합하면 속력의 제곱에

의존하게 된다. 한편 일정한 속력에서 반지름이 증가하면 속도의 정해진 

변화와 연관된 시간 Δ t가 증가한다. 따라서 가속도는 반지름에 반비례한다.

식 4-11을 기하학적으로 유도하였지만, 위치를 단위 벡터 기호로 표시하고 

가속도를 얻기 위하여 두 번 미분하면 같은 결과를 얻을 수 있다.