만유인력, 지구의 무게 재기

Nenton은 중력에 대한 그의 새로운 이해를 일반화시켜 우주에 있는 모든

두 입자는 서로 인력을 미치며 그 크기는 같다는 만유인력 법칙

(the law of universal gravitation)을 제안하였다.

 

식 설명 (9-1)
여기서 m₁과 m₂에서는 입자들의 질량, r은 그들 사이의 거리 그리고 G는
만유인력 상수(cnstant of universal gravitation)이다. 그 값은―Newton 시대

후에 결정― 6.67X10 -¹¹Nㆍm²/kg² 이다. 상수 G는 실로 보편 상수이다; 

관측과 이론에서 이 값은 우주 모든 곳에서 일정하다.
중력이 두 입자 사이에 작용한다. 즉, m₁은 m₂에 인력을 미치고 m₂는 m₁에 

크기가 같고 방향이 반대인 힘을 미친다. 따라서 두 힘은 Newton의 제3 법칙을 

만족한다.

엄밀히는 Newton의 만유인력 법칙은 크기가 없는 점 입자들에만 적용한다.
그러나 Newton이 새로 개발한 해석학을 사용하여 밝힌 바와 같이 이 법칙은
거리 r을 비대칭 물체의 중심에서부터 측정한다면 구대칭 물체에 대해서도

성립한다. 물체들 사이의 거리가 물체의 크기에 비해 클 때 임의의 모양의 물체들
사이에도 군사적으로 적용된다. 예를 들어, 우주 왕복선에 대한 지구의 만유인력은

식 9-1에 의해 정확히 정하여진다. 왜냐하면 (1) 지구는 거의 구형이며
(2) 우주 왕복선은 비록 모양이 비대칭이지만 지구 중심으로부터의 거리보다

훨씬 작기 때문이다.

지구 중심으로부터의 거리에 따른 중력 가속도의 변화는 Newton에 만유인력이

거리의 제곱에 반비례한다는 단서를 제공했다. Newton은 달의 공진 주기
와 지구로부터의 거리를 알았다; 이것들로부터 달의 공전 속력과 가속도 u²/r을
계산할 수 있었다. Newton은 달의 가속도가 지표의 중력가속도 g의 약 1/3600
이라는 것을 구하였다. 달이 지구 표면보다 지구 중심에서부터 약 60배 정도
더 떨어져 있으며, 따라서 지구 중심으로 부 터의 거리 따른 중력 가속도의 감
소는 1/r²로 변하는 중력과 일치한다.

중력이 이렇게 약한데 왜 중요한 힘일까? 중력은 전기력과는 달리 항상 인력
이기 때문이다. 반중력이나 음의 질량은 아직 발견된 바 없다. 따라서 중력은
항상 누적되며, 큰 물질의 집합으로 상당한 만유인력이 생긴다. 반면에 전기력
은 두 종류의 전하 때문에 인력이거나 척력일 수 있다. 지구와 같은 거대한 물
체에는 거의 같은 수의 양전하와 음전하가 있기 때문에 별다른 전기력을 미치지
않는다. 전기력과 만유인력의 근본적인 차이점을 23장에서 조금 더 검토할
것이다.

 

Cavendish의 실험: 지구의 무게 재기
지구의 질량과 반경 그리고 g의 측정값을 알면 식 9-1을 사용하여 상수 G를 

정할 수 있다. 불행하게도 지구의 질량을 정확하게 결정하는 유일한 방법은
지구의 중력효과를 측정해서 식 9-1을 사용하는 것이다. 그러려면 G를 알아야
한다.
G를 결정하기 위해서는 알고 있는 질량에 대한 만유인력 측정이 필요하다.
보통 크기의 물체의 약한 만유인력을 측정한다는 것은 쉬운 일이 아니다. 이것
은 1789년 영국의 물리학자 Henry Cavendish가 개발한 정교한 실험으로

이루어졌다. Cavendish는 가는 실에 매달린 막대의 양 끝에 지름 5cm인

구형 납덩어리를 올려놓았다. 그러고 나서 지름 30cm의 두 구형 납덩어리를

가까이 가져갔다(그림 9-4). 그들 사이의 인력으로 작은 납덩어리가 약간 이동하여

실에 비틀림을 일으켰다. 실의 성질을 알고 있으므로 Cavendish는 이 힘을 

측정할 수 있었다. 질량들과 질량들 사이의 거리를 알고 있으므로 식 9-1을 

사용하여 G를 계산했다. 그가 구한 결과로 지구의 질량을 결정하게 되었다; 

실로 그의 출판된 논문에는 "지구의 무게를 재는 것에 관하여"라는 표제가 붙어있다.

 

그림 9-4. G를 결정하는 Cavendish
의 실험, 엷은 색의 작은 구는 원래
위치를 나타낸다.

 

중력을 이용한 지구 탐사

지각의 두께 및 밀도의 변화는 지질의 측정에 관련되며 중력
가속도 g의 지표에서의 값에 약간의 변화를 일으킨다. 지질
학자들은 중력계(gravimeter)라 불리는 기구를 이용하여 이
변화를 측정하고, 아래에 있는 암반의 구조를 추정한다. 중력
계 자체는 간단한 물리적 원리에 따른다. 가장 일반적인 유
형은 민감한 용수철에 고정된 질량들을 이용한다. 교묘하게
고안된 이 장치로 g의 변화를 10-6m/s²까지 탐지한다.
석유 지질학자들은 중력 측정이 석유와 가스 매장으로 인
해 종종 생기는 저밀도 염의 돔(그림 9-5)의 존재를 중력 측
정으로 쉽게 알 수 있기 때문에 중력 측정이 매우 유용하다는

것을 알게 되었다. 중력 측정은 또한 산악의 윗부분의 질량이 

그 아래에 있는 저밀도 물질에 의해 일부분을 상쇄된 다른 것도 

알려준다. 바다 표면 높이의 정밀한 지도는 표면 아래에 있는 

물질의 만유인력을 나타내며, 풍부한 지질학적 특성들을 

알려준다( 그림 9-6).

 

그림 9-5. 위를 덮고 있는 암반층을 밀어내는 암염의 돔
(dome). 염류의 밀도가 더 낮기 때문에 그 표면에서의 

g 값은 정상치보다 약간 낮을 것이다.

 

그림 9-6 이 지도는 대양 표면의 중력 가속도를 나타낸다.
밝은 부분의 g가 크다. 이 지도는 대양 표면의 높이를 결정
하기 위하여 궤도 위성으로부터 레이더 고도 측정법을 사용
하여 만들어진 것이다; 수면 높이 측정의 정확도는 약 10cm
이다. 해수면이 높은 지역은 큰 중력에 대응하는데 그 이유
는 밀에 있는 질량(예를 들면, 산과 같은 융기)이 물을 끌어

당기면 결과적으로 물이 쌓이기 때문이다.