궤도운동

궤도운동(orbital motion)은 물체에 작용하는 힘이 주로 중력일 때 일어난다.

궤도에 있는 것은 단지 행성들이나 우주선이 아니다. 우주 왕복선에서 유영을 

하는 각 우주 비행사들도 지구 주위의 궤도에 있다. 태양 역시 은하의 중심을 

2억 년 주기로 도는 궤도운동을 한다. 공기저항을 무시하면 야구공도 잠깐 

동안 궤도운동을 한다. 여기서는 특별한 경우인 원 궤도를 정량적으로 다루고 

나서 일반적인 경우를 정성적으로 다룬다.
Newton의 천재성은 사과를 땅으로 끌어당기는 것과 같은 힘으로 달이 원
궤도를 유지하고 있다는 것을 인지한 데 있다. 거기서부터 인공 물체를 궤도에
진입시킬 수 있다는 것을 아는 것은 Newton은 간단한 것이었다. 첫 번째
인공위성이 쏘아 올려지기 300년 전에 그는 높은 산에서 수평으로 발사된 

포물체를 상상했다.

포물체를 중력이 당기면 포물체는 힘이 적용하지 않을 때의 직선 경로를 벗
어나 곡선운동을 한다. 처음 속력이 향상함에 따라, 포물체는 땅에 닿기 전에
더 멀리 이동한다. 마침내, 포물체의 운동 경로의 휘어짐이 지구 표면의 모양이
되는 속력에 이르게 된다. 이때 포물체에는 만유인력 외의 힘이 작용하지 않는
한 영원히 원 궤도(circular orbit)운동을 계속할 것이다.
왜 궤도운동을 하는 물체는 지구를 향하여 떨어지지 않을까? 떨어지는 것이
다! 중력의 작용 하에, 직선 경로상에 있는 것보다 지구에 더 가까워진다.

정확히 말하여 물체가 힘의 작용을 받아 Newton의 제2 법칙에 따라 운동한다. 

원 궤도의 경우 속도의 크기는 변하지 않고 방향만 변하는 가속도이다.
Newton의 법칙들은 운동의 변화에 관한 것이지 운동에 관한 것은 아니다. 왜
위성이 지구로 떨어지지 않느냐는 물음은 남은 Aristotle의 견해를 채택하는
것이 된다. Newton 식 질문은 다음과 같다: 왜 위성이 직선 운동하지 않느냐?
그리고 그 대답은 간단하다: 힘이 작용하기 때문이다. 중력이라는 이 힘은
실에 달린 공이 원형 경로상에서 돌도록 하는 장력과 동일한 것이다.
4-4절에서 배운 것처럼 원 궤도 운동을 정량적으로 분석할 수 있다. 질량 m,
속력 u인 물체가 반지름 r의 원형 경로에서 운동하는 데 mu²/r인 힘이 필요
하기 때문에 작용하는 힘이 중력인 궤도의 경우

                                             

                                                    (식 생략)

 

이다. m은 궤도운동을 하는 물체의 질량, M은 질량 m에 힘을 작용하는 물체
의 질량이다. 여기서 M》m을 가정하는 데 그러면 질량 M인 물체는 본질적으로

정지 상태에 있다고 할 수 있다. 그리고 이것은 지구의 위성 혹은 태양 주위를 

도는 행성들에 있어서 타당한 근사이다.
궤도운동 속력에 대해 풀면

 

                                                     (식 생략)

 

이다. 종종 궤도주기(orbital period) 즉, 공전주기에 관심이 있다. 궤도운동을 

하는 물체는 한 주기 T 동안에 궤도 둘레인 2 π r을 이동한다. 따라서 속력은 

u = 2πr/T이다. 그러면 식 9-3은

 

                                                     (식 9-3 생략)

 

된다. 따라서

 

                                                     (식 9-4 생략)

 

이다. 식 9-4를 유도함으로써 반 장축이 반지름인 원에 대하여 Kepler의 제3 법칙

―공전 주기의 제곱이 반 장축의 세제곱에 비례한다―을 증명하였다.
궤도 운동의 속력과 공전 주기는 물체의 질량과 무관함에 주목하여라. 이것은 

모든 물체에 동일한 중력 가속도가 생긴다는 또 다른 표시이다. 예를 들어, 

우주 비행사는 그들의 우주 왕복선과 궤도 매개 변수가 동일하다, 이것이
바로 우주 비행사가 우주선 내에서 몸무게가 없으며, 그들이 우수선 밖으로

나가 있어도 표류하지 않는 이유이다(그림 9-9).

 

                                                    (예제 9-3 생략)

 

예제 9-3은 지구 근처에서의 공전 주기는 약 90분 정도라는 것을 나타낸다.
한편 달의 경우는 27일이 걸린다. 따라서 지구의 자전 주기와 같은 24시간을
공전 주기로 하는 거리가 틀림없이 존재한다. 이 거리에 있는 인공위성은 그

궤도가 적도와 평행하다면 지구 표면에서 불 때 고정되어 보인다. 기상 및 통신
위성은 이러한 정지궤도(geosynchronous orbit)에 배치된다.

위성 TV, 국제전화 및 대륙 간 정보전송 등에 이 정지위성이 이용된다.

 

그림 9-9 우주비행사 Bruce McCan

-d less가 우주 왕복선 밖에서 자유

유영하고 있다. 궤도 매개변수가
궤도운동을 하는 물체의 질량과 무
관하기 때문에 비행사와 우주선은
지구를 거의 8km/s로 돌면서 동일
한 궤도에 머물게 된다.

 

 

타원궤도
Newton은 그의 운동 법칙과 중력의 법칙을 사용하여 행성들이 태양을 한

초점으로 하는 타원 경로에서 운동한다는 Kepler의 주장을 증명할 수 있었다.

원형궤도는 타원의 두 초점이 일치하는 특별한 경우로 중력을 미치는 중심으로부터
의 거리가 일정하다. 대부분의 행성의 궤도는 거의 원형이다: 예를 들면

태양으로부터 지구까지의 거리는 일 년에 약 3% 정도 변한다. 그러나 혜성의 궤도나
다른 작은 행성들의 궤도는 타원형이다(그림 9-12). 해성들의 궤도운동의 속력
도 변한다. 태양에 가장 가까운 근일점(perihelion)을 돌 때 속력이 빨라지다가, 

가장 먼 원일점(aphelion)에 이르면 느려진다. 예를 들어 1986년
태양계 내부를 찾아왔던 Halley 혜성은 2061년이 되어서야 다시 찾아올 것이다:
이 시간의 대부분 천왕성 너머 먼 영역을 통과하는 데 소비될 것이다.
3장에서 포물체의 궤적이 포물선임을 밝혔다. 그러나 유도과정에서 지구의

곡률이나 고도에 따른 중력 가속도 g의 변화를 무시하였다. 실제로, 포물체는

궤도운동을 하는 물체와 같다. 공기저항을 무시하면, 포물체도 지구 중심을 한

초점으로 하는 타원 궤도를 그린다. 지구 반지름에 비해 궤적이 작을 때만 실제
타원 경로와 3장의 포물선은 구별할 수 없다(그림 9-13). 미사일과 야구공은 정말

궤도운동을 할까? 그렇다. 그러나 그 궤도는 지구와 교차한다. 교차 지점에서 

만유인력이 아닌 힘이 궤도운동을 하지 못하게 한다. 그림 9-13b에서 시사한
것처럼, 지구가 갑자기 포도알 크기로 줄어든다면, 야구공은 궤도운동을

순조롭게 계속할 것이다. Newton의 천재적인 직관은 옳았다: 공기저항을 

제외하고는 지구 근처의 물체의 일상적인 운동과 천체의 운동 사이에는 실제로 

차이점이 없다.

 

그림 9-12 대부분의 알려진 혜성의
궤도는 긴 타원이다. Halley 혜성

(화살표로 표시된)과 같이 공전 주기가
긴 혜성들은 태양계의 외부를 느리게 

통과하면서 시간을 소모한다. 모든 

혜성의 궤도는 태양을 한 초점으로 

한다.

 

그림 9-13 (a) 한정된 범위의 포물체의

경우 실제 타원 궤적(실선)은 지구를 

편평하다고 가정하고 계산한 포물선

궤적과 약간만 다르다. (b) 대륙 간 

탄도 미사일과 같은 장거리 궤적은 

분명히 타원이다. 지구의 질량이 그 

중심에 집중되어 있다면 이러한

포물체는 타원 궤도를 영원히
돌 것이다.