Newton의 제2 법칙, 비등속의 원운동

Newton의 제2 법칙은 힘과 운동의 번화 사이의 관계를 정량화한다. Newton
은 제2 법칙을 공식화하는 데 있어서 질량과 속도의 곱인 물체의 "운동의 양"이
최선의 척도라고 생각했다.
Newton의 "운동의 양"에 대한 현재의 용어는 운동량(momentum)이다.
운동하는 질량인 물체의 운동량은 m v이다. 운동량을 기호
속도 v로 운동하는 질량 m인 물체의 운동량은 m v이다. 운동량을 기호 p로

표시하면:
                                           p = m v               (운동량)                                (5-1)

이다. 스칼라(질량)와 벡터(속도)의 곱이므로 운동량은 벡터양이다. Newton의
제2 법칙은 물체의 운동량의 변화율과 물체에 작용하는 알짜 힘과의 관계이다.

Newton의 운동 제2 법칙; 물체의 운동량의 변화율은 그 물체에 작용하고 있는
알짜 힘과 갈다.

 

물체의 운동 변화를 결정하는 데 중요한 것은 물체에 작용하는 모든 개개의
상호 작용력의 벡터 합인 알짜 힘이라는 것을 다시 한번 강조한다.
물체의 질량이 일정하면, 운동량의 정의 p = m v를 사용하여

 

이다. Newton은 원래 가장 일반적인 꼴인 식 5-2로 제2 법칙을 표시했지만 식은

5-3의 꼴이 더 알려져 있다.
Newton의 제2 법칙은 특별한 경우로 F 알짜 = 0인 제1 법칙을 포함한다. 이 경우
식 5-3인 제2 법칙에서 a = 0이며, 이것은 단순히 물체의 속도가 변하지 않는 것을

의미한다. 그래서 제1 법칙이 주장하는 바와 같이 알짜 힘이 0인 물체는 일정한 

속력으로 (정지해 있으면 속력은 0) 직선상에서 운동한다. 역으로, 물체가 가속되면, 

Newton의 제2 법칙은 0 이 아닌 알짜 힘이 작용하는 것을 의미한다. 속도의 

크기(속력)나 방향 어느 것의 변화도 가속도를 의미한다는 것을 한 번 더 명심하여라. 

 

질량, 관성 및 힘의 단위
물체의 운동을 변화시키는 데 힘이 필요하므로, 제1 법칙을 설명하는 하나의
방법은 물체는 본질적으로 운동의 변화에 저항한다는 표현이다. 관성(inertia)

이라는 용어는 운동의 변화에 대한 이 저항을 나타내며, 이 때문에 제1 법칙을

관성의 법칙(law of iertia)이라고 부르기도 한다. 일상생활에서 동작이 느린 

사람을 관성이 큰 사람으로 기술하는 것과 같이, 운동을 시작하기도 어렵고 

운동하다가 정지하기도 어려운 물체는 관성은 크다(그림 5-6).
가속도 a는 제2 법칙에서 a = F 알짜/m가 되고, 이것은 정해진 힘에 대한 물체의
운동 변화는 질량이 클수록 효과가 작다는 것을 나타낸다(그림 5-6). 그래서
Newton의 법칙에 나타나는 질량(mass) m은 물체의 관성의 척도이며, 정해진 

힘에 대한 물체의 반응을 결정한다.
Newton의 제2 법칙을 써서 실제로 질량을 측정할 수 있다. 어떤 힘이 알고
있는 질량과 모르는 질량에 일으키는 가속도를 비교하여 모르는 질량을 결정
할 수 있다. 크기가 F인 힘에 대한 Newton의 제2 법칙으로부터

 

이다. 여기서 크기만이 논의 대상이며, 벡터로 표시하지 않는다. 같은 힘에
대한 두 식을 같다고 놓고 질량과 가속도의 비를 구하면

이 된다. 식5-4는 질량의 조작적 정의(Operational definition)라고 생각할 수

있다. 이것은 한 질량과 정해진 힘을 알고 있으면 모르는 다른 질량에 이 힘을

작용하여 생기는 가속도로 모르는 질량을 결정할 수 있는 방법을 제시한다.

1장에서 정의한 표준 킬로그램과 같이 정확히 알고 있는 질량으로 다른 질량을 

결정하는 방법을 식 5·4는 제시한다. 이 방법은 궤도 운동하는 우주선 내에 있는
우주비행사의 질량을 측정하는 데 늘 사용된다. 예제 5-5를 참조하여라.
1 kg의 질량을 1m/s²의 비율로 가속하는 데 필요한 힘을 1 newton(N)이라고
정의한다. 식5-3에 의하여 1N은 1Kgㆍm/s²과 같다. 일반적으로는 사용되는 힘의

다른 단위로는, 영국 단위 pound(Ib, 4.448 N과 같음)와 CGS 단위 dyne이 있는데 

dyne은 10-5 n이다. 1 N의 힘은 비교적 적다. 여러분은 자기 몸으로 수백 newton의

힘을 낼 수 있다.

 

비등 속의 원운동
연 직원 둘레를 도는 공(그림 4-20)처럼, 원운동 하는 물체의 속력은 어떻게 변할까? 

속도의 방향과 크기가 모두 변하기 때문에 가속도는 속도에 평행이거나
수직일 수 없다. 하지만 가속도 벡터를 두 부분으로 나누어 하나는 속도에 수식
이거 다른 하나는 평행이게 할 수 있다. 속도에 수직인 것은 반지름 방향으로
원의 경로 중심을 향하기 때문에 지름 가속도(radial acceleration) ar이라,
속도에 나란한 것은 경로의 접선 방향이므로 접선 가속도(tangontial acceleration)

at이라 부른다. 지름 가속도는 속도의 방향만 바꾼다; 마치 등속 원운동에서의 

가속도와 같은 역할을 한다. 따라서 크기는 a r = u²/r이 된다. 접선 가속도는

속도의 크기만 바꾼다; 마치 1차원의 가속도 같은 역할을 한다. 따라서 크기는 

at = d u/d t이다. 알짜 가속도 벡터는 예제 4-10에서 설명하는 것처럼 이들을 

결합하여 구할 수 있다.
지름 및 접선 가속도를 원 궤도에서 다루었지만, 이 개념들은 경로가 임의의
모양일 때에도 적용된다. 경로상의 입의 점에서 그 경로가 얼마나 급하게 휘는가를 

나타내는 곡률 반지름(radius of curvature)을 정의할 수 있다(그립 4-22). 입자가 

곡률 반지름이 r인 지점에서 속력 u로 운동한다면 그 지름 가속도는 역시 u²/r이다.

입자의 속력도 변한다면 그 입자의 접선 가속도는 이때 d u/d t이다. 이 경우 입자가

경로상에서 운동할 때 u와 r 모두 변한다.
그림 4-22 임의의 경로상의 각 점의 곡률 반지름은 그 점의 특성이다. 속력 u로 운동
하는 물체에는 크기 u²/r인 지름 가속도와 크기 d u/d t의 접선 가속도가 있다.

일반적으로 이 입자가 운동할 때 u와 r 모두 변한다.